图的相关概念

• 什么是图：图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

• 图的分类：

  • 无向图： 图中任意两个顶点之间的边都是无向边（顶点之间的边没有方向）。

  • 有向图： 图中任意两个顶点之间的边都是有向边。

    注意：无向边用小括号“()”表示，而有向边则是用尖括号“<>”表示。

  • 无向完全图： 在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有$n(n-1)/2$条边。
  • 有向完全图： 在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有$n×(n-1)$条边。
  • 网： 带权的图通常称为网.(图的边具有与它相关的数字叫做权,可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。)
  • 连通图： 在无向图中，对于图中任意两个顶点都是连通的（顶点i到顶点j有路径）.
  • 强连通图: 在有向图中，对于图中任意两个顶点都是连通的。

  连通分量: 无向图中的极大连通子图称为连通分量。连通分量的概念强调：

  1.要是子图；

  2.子图要是连通的；

  3.连通子图含有极大顶点数；

  4.具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

• 相关术语

  • 邻接点:一条边上的两个顶点。

  • 度： 顶点v的度（Degree）是和v相关联的边的数目。对于有向，$顶点的度=顶点的入度+顶点的出度$

    注意：

    1.无向图中所有顶点的度之和等于边数的2倍，有向图中所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和。

    2.无论无向图还是有向图，顶点数n，边数e和度之间又如下关系：$E=(d[v1]+d[v2]+…+d[vn])/2$

  • 简单路径: 序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。
  • 简单回路: 除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。

代码实现

图的邻接矩阵

无向图：

• 某个顶点i的度，其实就是这个顶点i在邻接矩阵中第i行（或第i列）的元素之和。
• 顶点i的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，值为1的为邻接点。

有向图：

• 顶点i的入度为第i列各数之和，出度为第i行各数之和。

网：

邻接矩阵对于边数相对顶点较少的图，存在对存储空间的极大浪费的现象。所以这种存储方式不适合稀疏图。

图的邻接表

邻接表：数组与链表相结合的存储方式。

有向图：

网图：

$参考：https://www.zybuluo.com/guoxs/note/249812$$